三门问题（Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。问题非常的有意思^_^，给出叙述如下：
在三扇门中的某扇门以后有一个奖品，选中这扇门就能拿到门后的奖品。你选定了一扇门，具体地说，假设你选择了1号门。这时候主持人蒙提·霍尔会打开剩下两扇门的其中一扇，你看到门后没有奖品。这时候他给你一个机会选择要不要换另外一扇没有打开的门。你是选择换还是不换呢？
答：因为我之前就选了，换或者不换机会都是均等的，所以换不换无关紧要╮(╯▽╰)╭。 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 真的是这样么？仔细分析一下，游戏过程中你做了2个操作： 第一，你选择了一扇门。第二，你选择了换门或者不换。 定义事件\(A\)为你第一次就选中奖品。 定义事件\(B\)为你换门选中奖品。 那么\(A^c\)为集合A的余集，即第一次没有选中奖品。同理，\(B^c\)为换门没有选中奖品。整个游戏过程中，\(A\)或\(A^c\)先发生，\(B\)或\(B^c\)再发生。 显而易见的是 \[P(A)=1/3,P(A^c)=2/3\] 要注意的是，在第一次操作之后，还有一件事——主持人打开了一扇没有奖品的门。值得注意的是，这里主持人的动作是跟你第一次选择有关系的：
如果你一开始就选中了奖品，即事件\(A\)发生了，那么他就在剩下的两扇没有奖品的门之间任选一门打开。接下来，如果你选择换门，那么抽中的概率为0，不换抽中的概率为1。 即 \[P(B|A)=0,P(B^c|A)=1\] 因为事件\(B\)或\(B^c\)是在事件A发生之后发生的，所以这里的概率是基于事件\(A\)的条件概率。
如果你开始没有选中奖品，即事件\(A^c\)发生了，那么他只能打开另一扇没有奖品的门。这时候，如果你选择换门，那么抽中的概率为1，不换抽中的概率为0。 即 \[P(B|A^c)=1,P(B^c|A^c)=0\] 这里的概率是基于事件\(A^c\)的条件概率。
由上我们可以发现一点，事件\(A\)会影响事件\(B\)的概率，即事件\(A\)和事件\(B\)并不是相互独立的。\(A^c\)和\(B^c\)也是同理。 于是，利用全概率公式，我们可以求得换门选中奖品的概率为 \[P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)=0*1/3+1*2/3=2/3\] \[P(B^c)=P(B^c|A)P(A)+P(B^c|A^c)P(A^c)=1*1/3+0*2/3=1/3\] 所以事实上你换门能得到奖品的概率为2/3，是不换门的2倍（懂点数学真好啊）。是不是和直觉不太一样？个人认为，直观上觉得\(P(B)=1/2\)的原因是忽略了第一次选择时，通过主持人的动作改变了换门的事件概率这一客观过程。 2013年7月3日更新
从信息论的角度来说，B事件的熵为H(B)，在A事件发生之后B事件的条件熵为H(B|A)，可以证明 \[H(B) \geq H(B|A) \] 也就是说，在给予了A的信息之后，B的不确定性下降了。